BSM，全称 Black-Scholes-Merton 模型，是一个用于定价欧式期权的数学模型。它由 Fischer Black、Myron Scholes 和 Robert Merton 于 1973 年提出，此后成为期权定价领域的基准模型。

模型组成

BSM 模型主要基于以下假设：

• 标的资产价格服从对数正态分布：这意味着标的资产的自然对数收益率遵循正态分布。
• 无套利：无法通过同时买入和卖出不同价格、到期日或执行价的期权获得无风险利润。
• 股票不支付股息：期权的标的资产在期权存续期间不支付股息。
• 交易成本和税收为零：模型不考虑交易成本和税收的影响。

四大支柱

BSM 模型由四个关键支柱组成：

1. 风险中性概率分布

模型假设存在一个“风险中性”概率分布，其下标的资产价格的未来路径的概率等同于期权价格计算所需要的无风险利率下的价格。

2. 偏微分方程

模型使用一个偏微分方程来描述期权价格随时间变化的方式。该方程称为布莱克-斯科尔斯偏微分方程，必须满足特定的边界条件才能唯一求解期权价格。

3. 封闭形式解

对于欧式期权，布莱克-斯科尔斯偏微分方程有一个封闭形式解，即 BSM 公式。该公式可以用来直接计算期权价格。

4. 希腊字母

BSM 模型还提供了称为“希腊字母”的敏感性指标，其中包括：

• Delta：衡量期权价格对标的资产价格变化的敏感性。
• Gamma：衡量 Delta 值对标的资产价格变化的敏感性。
• Vega：衡量期权价格对波动率变化的敏感性。
• Theta：衡量期权价格随着时间的推移而发生的时间衰减。

应用

BSM 模型广泛应用于期权定价、风险管理和投资决策等领域。它为期权交易员和投资者提供了一个可靠的框架来估算期权价值，从而做出明智的交易决策。

局限性

BSM 模型虽然是一个强大的工具，但它也有一些局限性：

• 假设的限制：模型的假设过于简化，可能无法准确反映现实世界的条件，例如当标的资产支付股息时。
• 价格波动：模型假设标的资产价格的波动率是恒定的，这在实践中并不总是成立。
• 计算复杂性：对于某些类型的异类期权，BSM 公式可能难以求解，需要使用数值方法。

BSM 模型是一个重要的数学模型，用于定价欧式期权。它基于对期权市场行为的合理假设，提供了一个可靠的框架来估算期权价值。用户必须意识到其局限性，并在使用模型时进行适当的调整。